The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0, n__zeros)
take(0, IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0 → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatIList, isNatList, activate, isNat, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNatIList, activate, isNat, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(7) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(8) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatIList, activate, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Induction Base:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(n24_3, 1))) →_R^Ω(1)
isNat(activate(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3))) →_R^Ω(1)
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) →_IH
tt

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNatIList, isNatList, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(13) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length, isNatIList, isNatList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.

(15) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, isNatList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.

(17) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList = isNatList
isNatIList = activate
isNatIList = isNat
isNatIList = length
isNatList = activate
isNatList = isNat
isNatList = length
activate = isNat
activate = length
isNat = length

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(19) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(20) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

(21) BOUNDS(n^1, INF)

(22) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
and(tt, T) → T
isNatIList(IL) → isNatList(activate(IL))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__s(N)) → isNat(activate(N))
isNat(n__length(L)) → isNatList(activate(L))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(N, L)) → and(isNat(activate(N)), isNatList(activate(L)))
isNatList(n__take(N, IL)) → and(isNat(activate(N)), isNatIList(activate(IL)))
zeros → cons(0', n__zeros)
take(0', IL) → uTake1(isNatIList(IL))
uTake1(tt) → nil
take(s(M), cons(N, IL)) → uTake2(and(isNat(M), and(isNat(N), isNatIList(activate(IL)))), M, N, activate(IL))
uTake2(tt, M, N, IL) → cons(activate(N), n__take(activate(M), activate(IL)))
length(cons(N, L)) → uLength(and(isNat(N), isNatList(activate(L))), activate(L))
uLength(tt, L) → s(length(activate(L)))
0' → n__0
s(X) → n__s(X)
length(X) → n__length(X)
zeros → n__zeros
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
activate(n__0) → 0'
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__length(X)) → length(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(X1, X2)
activate(n__nil) → nil
activate(n__take(X1, X2)) → take(X1, X2)
activate(X) → X

Types:
and :: tt → tt → tt
tt :: tt
isNatIList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
isNatList :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
activate :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
isNat :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → tt
n__0 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
n__take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
zeros :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
cons :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
0' :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
take :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake1 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
nil :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
s :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uTake2 :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
length :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
uLength :: tt → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
hole_tt1_3 :: tt
hole_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take2_3 :: n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3 :: Nat → n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take

Lemmas:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

Generator Equations:
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(+(x, 1)) ⇔ n__s(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(23) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
isNat(gen_n__0:n__s:n__length:n__zeros:n__cons:n__nil:n__take3_3(n24_3)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n24₃)

(24) BOUNDS(n^1, INF)